M03L10Semana 3~2.5 h

L10 — Equivalencias y particiones

~2.5 h · Semana 3

Una relación de equivalencia parte el conjunto en clases disjuntas. Es el modelo de = en tipos, congruencias y componentes conexas (más adelante en grafos).

Objetivo

Probar que ≡ (mod m) es relación de equivalencia; calcular clases de equivalencia en un conjunto finito.

Pasos

1. Definición (20 min)

En relaciones.md: relación de equivalencia = reflexiva + simétrica + transitiva. Teorema: particiona A en clases disjuntas cuya unión es A.

2. Demostración (50–60 min)

Demo 7 en demos.md: en ℤ (o en ℕ con cuidado), a ≡ b (mod m) iff m | (a−b) es equivalencia. Prueba las tres propiedades (m fijo ≥ 2).

3. Clases en finito (40 min)

En A = {0,1,…,11}, m = 4: lista clases [0], [1], … sin repetir representantes.

4. Implementación (50 min)

export function clasesDeEquivalencia<A>(
  r: Relacion<A>,
  universo: Set<A>,
): Set<Set<A>> {
  // Encuentra clases por representante: para cada x no visitado, clase = { y | (x,y)∈R }
}

Asume r ya es equivalencia (documenta). Tests con mod 3 en {0,1,2,3,4,5}.

5. Puente conceptual (15 min)

Una frase: cómo esto se parece a “agrupar usuarios con el mismo rol” o “nodos en la misma componente”.

Lectura de esta lección

Fuente	Qué leer
Rosen	Cap. 9.5
Catálogo	Bibliografía · M03

Hecho cuando

Demo 7 completa en demos.md.
clasesDeEquivalencia pasa test modular pequeño.
Dibujas la partición de {0..11} mod 4.

Errores comunes

Clases que se solapan (error al definir representante).
Usar mod en TS con negativos sin normalizar (documenta convención).
Confundir clase con conjunto de todos los pares.

L11 — Órdenes parciales y totales

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